Suite extraite - Sous-suite
Définition
Définition :
Une suite extraire (ou une sous-suite) est une suite de la forme : \((u_{\varphi(n)})\) où \(\varphi:{{\Bbb N\to\Bbb N}}\) est strictement croissante
(
Ensemble des entiers naturels,
Fonction strictement croissante)
Valeur d'adhérence
Propriétés
Si \(\varphi:{\Bbb N}\to{\Bbb N}\) est strictement croissante, alors on a $$\varphi(n)\geqslant n$$
(
Fonction strictement croissante,
Ensemble des entiers naturels)
Intérêt
Proposition :
\((u_n)_{n\in\Bbb N}\) converge vers \(\ell\) \(\iff\) toute sous-suite \((u_{\varphi(n)})\) de \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) converge vers \(\ell\)
(
Suite convergente)
Démonstration :
Si \((u_{\varphi(n)})_{n\in\Bbb N}\) est une sous-suite de \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) avec \(\varphi:\Bbb N\to\Bbb N\) strictement croissante. Comme \(u_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow\ell\), $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N\in\Bbb N\text{ tq }n\geqslant N\implies\lvert u_n-\ell\rvert\lt \varepsilon$$ remarquons que \(\varphi:\Bbb N\to\Bbb N\) est strictement croissante (\(\implies\forall n\geqslant0,\varphi(n)\leqslant n\)). Donc $$\begin{align}n\leqslant N\implies&\varphi(n)\geqslant n\geqslant N\\ \implies&\lvert u_{\varphi(n)}-\ell\rvert\lt \varepsilon\end{align}$$
(
Suite convergente)
Exemples
Exemple : ^[soit \((u_n)=(-1)^n,n\geqslant0\)
Soit \(\underset{n\mapsto2n}{\varphi:\Bbb N\to\Bbb N}\), \(u_{\varphi(n)}=1\)
Soit \(\underset{n\mapsto2n+}{\varphi:\Bbb N\to\Bbb N}\), \(u_{\varphi(n)}=-1\)]
Exemple : ^[soit \((u_n)_{n\in\Bbb N}=(-1)^n\)
On remarque que \(u_{2n}=1\) et \(u_{2n+1}=-1\)
Donc \((u_n)\) ne converge pas]
Exercices
Exercices : ^[soit \((u_n)\) une suite telle que les suites extraites \((u_{2n})\), \((u_{2n+1})\) et \((u_{3n})\) sont convergentes. Montrer que \((u_n)\) converge $$\begin{align}&\text{d'une part, }(u_{6n})\text{ est une sous-suite de }(u_{2n})\text{, donc }\\ &\lim_{n\to+\infty}u_{6n}=\lim_{n\to+\infty}u_{2n}=\ell_1\\ & \text{d'autre part, }u_{6n}\text{ est une sous-suite de }(u_{3n})\text{, donc }\\ &\lim_{n\to+\infty}u_{6n}=\lim_{n\to+\infty}u_{3n}=\ell_2\\ \\ &\text{donc }\ell_1=\ell_2\text{ d'après l'unicité de la limite de }(u_{6n})\\ \\ &\text{idem avec }(u_{9n}), (u_{2n+1})\text{ et }(u_{3n})\\ \\ &\text{comme }u_{2n} \text{ et }u_{2n+1}\text{ convergent vers la même limite,}\\ &\text{alors }(u_n) \text{ converge}\end{align}$$]